Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围；
（2）若公差d∈Z，S_n为{a_n}的前n项和，Tn=12n+

75

n

，求证：对任意n∈N^*，S_n＜T_n．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}中，a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0，故

a1+2d=12 10a1+ 10×9 2 d＞0 13a1+ 13×12 2 d＜0

，由此能求出公差d的取值范围．
（2）由-

24

5

＜d＜-3，d∈Z，知d=-4，由a₁+2d=12，知a₁=20，故S_n=-2n²+22n=-2（n-

11

2

）²+

121

2

，所以n=5或n=6时，（S_n）_max=60，由Tn=12n+

75

n

≥2

12n• 75 n

=60，知S_n＜T_n．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0，
∴

a1+2d=12 10a1+ 10×9 2 d＞0 13a1+ 13×12 2 d＜0

，
解得-

24

5

＜d＜-3，
∴公差d的取值范围是（-

24

5

，-3）．
（2）∵-

24

5

＜d＜-3，d∈Z，
∴d=-4，
∵a₁+2d=12，
∴a₁=20，
∴S_n=20n+

n(n-1)

2

×(-4)=-2n²+22n=-2（n-

11

2

）²+

121

2

，
∴n=5或n=6时，
（S_n）_max=60，
又Tn=12n+

75

n

≥2

12n• 75 n

=60，
即（T_n）_min＞60，
∴S_n＜T_n．

点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，求等差数列的公差的取值范围，考查等差数列的最小值的求法和应用，解题时要认真审题，注意配方法和均值定理的灵活运用．