Question

（本小题满分13分）
设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

Answer 1

（I）数列（）是常数数列
（II）若是数列中的第项，由得，取，得，是数列中的第项．

解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）