Question

已知函数f（x）=x³-ax²．
（1）若a=3，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）在（1）的条件下，当k满足什么条件时，方程f（x）+k=0只有两个解；
（3）若函数f（x）的图象的切线过点（0，1），且过该点的切线有两点，求实数a的值．

Answer 1

解：（1）由于a=3，则f（x）=x³-3x²，所以f'（x）=3x²-6x=0，得x₁=0，x₂=2

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	0	↘	-4	↗

∴f_极大值（x）=f（0）=0f_极小值（x）=f（2）=-4
（2）由（1）得k=0或k=4时只有两解；
（3）∵函数f（x）的图象的切线过点（0，1），且过该点的切线有两条，
∴设切点为（x，x³-ax²），又切线过点（0，1），f′（x）=3x²-2ax，
∴，
化简得2x³-ax²+1=0…①，∵有两条切线，
∴方程①只能有两个根，
∵2x³-ax²=-1，令h（x）=2x³-ax²，y=-1，则h′（x）=6x²-2ax，令h′（x）=0，解得，x₁=0，x₂=，
画出h（x）的图象：利用数形结合可得，要是方程①只有两个根，∴h（）=-1，
∴2׳-a×=-1，解得a=3．
分析：（1）把a=3代入函数f（x）=x³-ax²，求导，解出极值点，列出表格即可求解；
（2）由（1）的表格，画出草图即可求解；
（3）首先设出切点，根据函数f（x）的图象的切线过点（0，1），且过该点的切线有两条，根据斜率和导数的关系列出方程，可知方程只有两个根，根据数形结合的方法可以求出a值．
点评：此题主要考查例如函数的导数研究函数的极大值和极小值，列出表格可以画出函数的大致草图，此题第三问比较难，利用数形结合的方法求出a的值，难度比较大．