题目内容

数列{a_n} 的前n项和为S_n，数列1， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…的前n项和S_n=________．

$\text{[math]}$
分析：先根据数列的前几项求出数列的通项，然后利用裂项求和法进行求和，即可求出所求，裂项时注意系数．
解答：∵数列1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…
∴a_n= $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ ）
S_n=a₁+a₂+…+a_n=2（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=2（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了数列的求和，利用通项是求和的常用方法，本题同时考查了裂项求和法，属于中档题．

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在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n，并证明：不等式S_n+1≤4S_n．

已知二次函数f（x）=px²+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若cn=

(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn，求数列{b_n}的通项公式．

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），
（1）求a₂以及数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d_n的等差数列．
（ⅰ）求证：

（n∈N^*）；
（ⅱ）求证：在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）

若数列{a_n}的前n项和公式为S_n=log₃（n+1），则a₅等于（　　）

（2012•商丘二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：

，…有如下运算和结论：
①a₂₄=

；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为T_n=

；
④若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=

．
其中正确的结论是

．（将你认为正确的结论序号都填上）