Question

已知直角坐标平面内点F₁（-2，0），F₂（2，0），一曲线C经过点P，且．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的定义，可得所求曲线C是焦点在F₁、F₂的椭圆，2a=6，由此不难求出椭圆的标准方程，即曲线C的方程；
（2）设点P（x，y），利用直角坐标系中两点的距离公式，将PA长表示为x、y的式子，再用椭圆方程消去y，可得关于x的式子，代入并解之，最后结合椭圆上点横坐标取值范围，可得点P的横坐标的取值范围．
解答：解：（1）根据定义知曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，-------------------（2分）
设椭圆方程为 ，2a=6，a=3，c=2，
∴b²=9-4=5，可得椭圆方程为 ，即所求曲线C的方程．----------------（5分）
（2）设点P（x，y），由两点的距离公式，得
------------------（8分）
∵，
∴，解之得-------------------（10分）
因为点P在椭圆上，所以-3≤x≤3
取交集得点P的横坐标的取值范围是：[0，3]-------------------（12分）
点评：本题给出椭圆上一个动点到点A（1，0）的距离小于定长，求该点横坐标的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．