题目内容
（2013•静安区一模）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．
分析：（1）分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时，△EMN的面积，可得分段函数；
（2）分类求出△EMN的面积的最值，比较其大小，即可得到最值．
（2）分类求出△EMN的面积的最值，比较其大小，即可得到最值．
解答：
解：（1）①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，
即0＜x≤2时，△EMN的面积S=
×2×x=x；（2分）
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2＜x＜2+
时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=
．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴
=
，即MN=
．（5分）
故△EMN的面积S=
•
•x=-
x2+(1+
)x； （7分）
综合可得：S=
（8分）
说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．
（2）①当MN在正方形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤2；（10分）
②当MN在三角形区域滑动时，S=-
x2+(1+
)x．
因而，当x=1+
＜2（米），S在(2，2+
上递减，无最大值，0＜S＜2．
所以当x=2时，S有最大值，最大值为2平方米．（14分）
解：（1）①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，即0＜x≤2时，△EMN的面积S=
| 1 |
| 2 |
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2＜x＜2+
| 3 |
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=
| 3 |
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴
| MN |
| DC |
| GH |
| GF |
2(
| ||
|
故△EMN的面积S=
| 1 |
| 2 |
2(
| ||
|
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
综合可得：S=
|
说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．
（2）①当MN在正方形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤2；（10分）
②当MN在三角形区域滑动时，S=-
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
因而，当x=1+
| ||
| 2 |
| 3) |
所以当x=2时，S有最大值，最大值为2平方米．（14分）
点评：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，确定分段函数是关键．
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