Question

【题目】如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．

（1）若点是的中点，求证：//平面；

（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，且长度为

【解析】

(1) 连接,可得四边形是平行四边形，可得，可证得//平面；

（2）取中点，连接，可得是正三角形，分别以,,为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点的坐标为，，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，由二面角的余弦值为可得的值，可得的长.

解：（1）证明：连接,由已知得，，且

所以四边形是平行四边形，即，

又平面，平面，

所以//平面

（2）取中点，连接因为是菱形，且，所以是正三角形，

所以即，

由于是正三角形

所以，分别以,,为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系,如图，

，，

假设点存在，设点的坐标为，

，

设平面的法向量

则即，可取

平面的法向量为

所以，，解得：

又由于二面角大小为锐角，由图可知，点E在线段QC上，

所以，即