题目内容
已知圆C：x2+（y-3）2=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）当|PQ|=2
时，求直线l的方程；
（Ⅱ）探索
•
是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
（Ⅰ）当|PQ|=2
| 3 |
（Ⅱ）探索
| AM |
| AN |
分析：（Ⅰ）通过直线的斜率存在与不存在两种情况分别判断直线与圆的关系，利用圆心距、半径、半弦长的关系，通过圆心到直线的距离，求直线l的方程；
（Ⅱ）通过
•
的表达式，转化为
•
的关系，通过直线l与x轴是否垂直，即可请求出其值；
（Ⅱ）通过
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
解答：解：（Ⅰ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．…（2分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0．
因为PQ=2
，所以CM=
=1．则由CM=
=1，得k=
．∴直线l：4x-3y+4=0．
从而所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）因为CM⊥MN，∴
•
=(
+
)•
=
•
+
•
=
•
．
①当l与x轴垂直时，易得N(-1， -
)，则
=(0，-
)．
又
=(1，3)，∴
•
=
•
=-5…（8分）
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由
，得N（
，
）．
则
=(
，
)．∴
•
=
•
=
+
=-5．
综上，
•
与直线l的斜率无关，且
•
=-5．…（13分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0．
因为PQ=2
| 3 |
| 4-3 |
| |-k+3| | ||
|
| 4 |
| 3 |
从而所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）因为CM⊥MN，∴
| AM |
| AN |
| AC |
| CM |
| AN |
| AC |
| AN |
| CM |
| AN |
| AC |
| AN |
①当l与x轴垂直时，易得N(-1， -
| 5 |
| 3 |
| AN |
| 5 |
| 3 |
又
| AC |
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由
|
| -3k-6 |
| 1+3k |
| -5k |
| 1+3k |
则
| AN |
| -5 |
| 1+3k |
| -5k |
| 1+3k |
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
| -5 |
| 1+3k |
| -15k |
| 1+3k |
综上，
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
点评：本题考查直线与圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分类讨论的思想与计算能力．
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