Question

已知函数f（x）=ax²+x+1（a＞0）的两个不同的零点为x₁，x₂
（Ⅰ）证明：（1+x₁）（1+x₂）=1；
（Ⅱ）证明：x₁＜-1，x₂＜-1；
（Ⅲ）若x₁，x₂满足，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+x+1=0的实数根，利用韦达定理即可求得x₁+x₂=，x₁x₂=并带人：（1+x₁）（1+x₂）即可证明结论；
（Ⅱ）利用判别式△＞0，求得，分析出x₁+x₂=，x₁x₂=，从而证得结论；
（Ⅲ）由求出≤≤10，另由：（1+x₁）（1+x₂）=1求得-1=，利用不等式的基本性质分析求得=．而，消元配方即可求得a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+x+1=0的实数根，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．∴x₁+x₂=-x₁x₂
∴（1+x₁）（1+x₂）①（3分）
（Ⅱ）证明：由于关于x一元二次方程ax²+x+1=0有两个不等实数根x₁，x₂，
故有a＞0且△=1-4a＞0∴（4分）
∴（5分）
∴∴即x₁＜-1，x₂＜-1得证．（6分）
（Ⅲ）解：由?≤≤10，由①得-1=．
∴=．∴≤≤10，∴≤≤（7分）
∴==+（）=+，（8分）
当时，a取最大值为；
当或时，a取最小值；（10分）
又因为，故a的取值范围是（12分）
点评：此题是中档题．考查函数最值的应用和一元二次方程根的分布与系数的关系，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．