Question

定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数．

（Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；

（Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；

（Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数不是其定义域上的梦想函数．

理由如下：

定义域，，

存在，使，故函数不是其定义域上的梦想函数．

（Ⅱ），，若函数在上为梦想函数，

则在上恒成立，  即在上恒成立，

因为在内的值域为，    所以．

（Ⅲ），由题意在恒成立，

故，即在上恒成立．

①当时，显然成立；

②当时，由可得对任意恒成立.

令，则，

令，

则．

当时，因为，所以在单调递减；

当时，因为，所以在单调递增．

∵，， ∴当时，的值均为负数.

∵，，   ∴当时，

有且只有一个零点，且.   

∴当时，，所以，可得在单调递减；

当时，，所以，可得在单调递增．

则．

因为，所以，

．

∵在单调递增，，，

∴，    所以，即

又因为，所以的最大整数值为．