Question

在△ABC中，已知a，b，c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足sinB=

7

4

．
（Ⅰ）求sin2B+cos2

A+C

2

的值．
（Ⅱ）若b=

2

，当ac取最大值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由锐角B满足sinB=

7

4

，求得cosB 的值，再利用二倍角公式化简要求的式子为2sinBcosB+

1+cos(A+C)

2

，运算求得结果．
（2）由余弦定理可得 b²=2=a²+c²-2accosB，再由基本不等式求得ac≤4，当且仅当a=c=2，由此求得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵锐角B满足sinB=

7

4

，∴cosB=

3

4

．
∴sin2B+cos2

A+C

2

=2sinBcosB+

1+cos(A+C)

2

=

3 7

8

+

1-cosB

2

=

3 7 +1

8

．
（2）由余弦定理可得 b²=2=a²+c²-2accosB≥2ac-2ac×

3

4

，
解得ac≤4，当且仅当a=c=2时，等号成立，故此时△ABC的面积为

1

2

ac•sinB=

7

2

．

点评：本题主要考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，诱导公式以及二倍角公式、基本不等式的应用，属于中档题．．