Question

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C(cosα，sinα)，α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

cos2α

sin(α- π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

AC

、

BC

的坐标，根据条件可得|

AC

|2=|

BC

|2，化简得 sinα=cosα，再由α的范围求出α的值．
（2）由条件化简可得sinα+cosα=

2

3

，利用诱导公式及两角和差的正弦公式、二倍角公式化简要求的式子为-

2

（cosα+sinα），由此求出结果．

解答：解：（1）

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴|

AC

|2=|

BC

|2，
即（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，
∴sinα=cosα （4分）
又∵

π

2

＜α＜

3

2

π，∴α=

5

4

π（7分）
（2）∵

AC

•

BC

=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

，（10分）
∴

cos2α sin(α- π 4 ) = cos2α-sin2α 2 2 (sinα-cosα) = (cosα+sinα)(cosα-sinα) 2 2 (sinα-cosα)

=-

2

（cosα+sinα）=-

2

×

2

3

=

-2 2

3

．（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．