Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是圆的直径，两条对角线AC与BD相交于点P，且P是AC的中点，BP=2PD，直线MN切⊙O于A，若∠MAB=30°，BC=8，则∠ADC=

120°

，对角线BD长为

3

6

．

Answer 1

分析：①由直线MN切⊙O于A，∠MAB=30°，可得∠ABD=30°．利用BC是⊙O的直径，可得∠BDC=90°．即可得出．
②由①可知：∠ABC=∠MAB=30°，∠BAC=90°．又BC=8，可得AC=BC•cos30°=4

3

．由于P是AC的中点，可得PA=PC=2

3

．已知BP=2PD，设PD=x，则VP=2x．由相交弦定理可得：BP•PD=AP•PC，解得x=

6

即可．

解答：解：①∵直线MN切⊙O于A，∠MAB=30°，∴∠ABD=30°．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°．
②由①可知：∠ABC=∠MAB=30°．．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°．
又BC=8，∴AC=BC•cos30°=4

3

．
∵P是AC的中点，∴PA=PC=2

3

．
已知BP=2PD，设PD=x，则BP=2x．
由相交弦定理可得：BP•PD=AP•PC，∴2x2=(2

3

)2，解得x=

6

．
∴对角线BD的长=3x=3

6

．
故答案分别为120°，3

6

．

点评：本题综合考查了圆的性质、直线与圆相切的弦切角定理、相交弦定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本方法，属于中档题．