Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D和点F分别为BC和AC₁中点，
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：DF∥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析：（1）要证平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁，只需证平面ADC₁内的直线AD⊥平面BCC₁B₁，即证AD垂直平面BCC₁B₁内的两条相交直线CC₁、BC即可；
（2）要证DF∥平面ABB₁A₁，只需证DF平行平面ABB₁A₁内的直线A₁B，且DF?平面ABB₁A₁即可．

解答：证明：（1）如图，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD；
又AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
又BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）连结A₁B，A₁C，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，∴AC₁交A₁C于中点F，
又D为BC中点，所以DF∥A₁B，
而DF?平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，∴DF∥平面ABB₁A₁．

点评：本题考查了空间中的平面与平面垂直以及直线与平面平行的问题，应熟练地掌握空间中的平行与垂直关系，来解答此类题目．