Question

已知a∩b =l，a∥a ，a∥b ．求证：a∥l．

Answer 1

答案：
解析：

证明　要证明a∥l，需在平面a 、b 内分别找到直线b、c平行于a，必须过a作两个平面M、N使之分别与a 、b 相交于b、c，反复应用线、面平行的判定定理和性质定理，就可以达到此目的；或者过a作一个平面g ∥平面b ，利用面面平行的性质定理来证亦可． 　　证法一：过a作平面M交平面a 于b 　　∵　a∥a ，∴　a∥b 　　同样过a作平面N交平面b 于c 　　∵　a∥b ，∴　a∥c，易知b∥c 　　∵　bb ，而cb ，∴　b∥b   　　又平面a 经过b交b 于l，∴　b∥l 　　又∵　a∥b，∴　a∥l 　　证法二：∵　a∥b ，∴　过a作平面g ∥b 和平面a 相交于异于l的直线EF，a b =l 　　∵　EF∥l，又∵　a∥a ，ag ，g a =EF 　　∴　a∥EF，故a∥l   　　证法三：(同一法)：如图所示，过a 上任意一点A引l′∥a 　　∵　a∥a ，A∈ a ，∴　l′a 　　同理可证l′b 　　故l′在平面a 和平面b 的交线上 　　∴　l与l′重合，∴　a∥l．