Question

【题目】已知椭圆:,过椭圆右焦点的最短弦长是,且点在椭圆上.

（1）求该椭圆的标准方程;

（2）设动点满足:,其中,是椭圆上的点,直线与直线的斜率之积为,求点的轨迹方程并判断是否存在两个定点、,使得为定值？若存在,求出定值;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案见解析

【解析】

（1）因为椭圆:,过椭圆右焦点的最短弦长是,可得.点在椭圆上,可得,即可求得答案;

（2）设,,,则由得:,即,.点,在椭圆上,结合已知,即可求得答案.

（1）椭圆：,过椭圆右焦点的最短弦长是

,即①

点在椭圆上

即 ②

由①②解得: ,

化简可得:

解得,,,

椭圆的标准方程为：.

（2）设,,,则由

得:,

即,.

点,在椭圆上,

,,

故

,

设,分别为直线,的斜率,

由题设条件知:,可得,

,

点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为点,,

使得为定值.