题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
，
，
，平面
平面
，
.
（1）求证：
平面；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值，
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）结合题中数据在四边形
中证得
，由平面
面，得
平面
，所以
，又
，可得
平面；（2）以
坐标原点，分别以
在的直线为
、
轴，在底面内点过点作垂线为
轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，分别求出平面
与平面
的法向量，然后计算其夹角，由二面角的平面角与法向量的关系得到答案.
解（1）
，
，
.
，根据勾股定理可知.
又
平面面，且平面
平面
，
平面.
.
又
，
平面.
（2）以坐标原点，分别以 在的直线为、轴，在底面内点过点作垂线为轴建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
所以
，
，
设平面法向量为
，
则
，
取
，
，
平面一个法向量为
，
设平面法向量为
，
则
，
取
，
，
平面一个法向量为
，
由图易知平面与平面夹角为锐角
所以平面 平面
成夹角的余弦值为.
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