Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，y=f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有两个实根．
其中正确的命题个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：对各个选项分别加以判断：根据函数奇偶性的定义，得到是①真命题；根据函数的单调性与函数的值域，说明②是真命题；根据函数的图象是由一个奇函数图象平移而来，得到③是真命题；最后用一个反例推出④是假命题．由此可以选出正确答案．
解答：①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx，
∴函数f（-x）=-x|-x|+b-x=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函数y=f（x）为奇函数；
②b=0，c＞0时，因为函数在R上是增函数，且值域为（-∞，+∞）
∴方程f（x）=0只有一个实数根
③由①知函数y=x|x|+bx为奇函数，图象关于原点对称
y=f（x）的图象是由它的图象向上平移c个单位而得，
所以函数y=f（x）的图象关于（0，c）对称；
④当b=-1，c=0时，方程f（x）=0有三个实根：1，-1和0
因此④方程f（x）=0至多有两个实根错误
综合以上，说明①②③是正确的
故选C
点评：本题考查了函数的零点，也就是方程的根的个数的判断，属于中档题．对函数奇偶性和单调性的充分理解，并用于二次函数当中，本题可以迎刃而解．