题目内容

下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．y=-log2
C．y=3x
D．y=x3+
【答案】分析：A：y=-在（，+∞），（-∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=-log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增
解答：解：A：y=-在（，+∞），（-∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误
B：y=-log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误
C：y=3x不是奇函数，故C错误
D：y=x3+x，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确
故选D
点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=-的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．
练习册系列答案
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下列判断中：
①f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0必成立；
②y=2x与y=log2x互为反函数，其图象关于直线y=x对称；
③f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（|x|）=f（-x）必成立；
④当a＞0且a≠l时，函数f（x）=ax-2-3必过定点（2，-2）；
⑤函数f（x）=lgx2，必为偶函数．
其中正确的结论为
①②③④⑤
①②③④⑤
．
（2013•奉贤区一模）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；
②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
③f（x）=x2是“λ-伴随函数”；
④“
1
2
-伴随函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是（　　）个．
如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(
x+y
2
)≤
f(x)+f(y)
2
，则称这个函数是下凸函数，下列函数
（1）f（x）=2x；
（2）f（x）=x3；
（3）f（x）=log2x（x＞0）；
（4）f(x)=
x，x＜0
2x，x≥0

中是下凸函数的有（　　）
如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数
（1）f（x）=2x；
（2）f（x）=x3；
（3）f（x）=log2x（x＞0）；
（4）
中是下凸函数的有（ ）
A．（1），（2）
B．（2），（3）
C．（3），（4）
D．（1），（4）
如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数
（1）f（x）=2x；
（2）f（x）=x3；
（3）f（x）=log2x（x＞0）；
（4）
中是下凸函数的有（ ）
A．（1），（2）
B．（2），（3）
C．（3），（4）
D．（1），（4）

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