Question

已知A、B是圆x²+y²=1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F，使||PE|-|PF||为定值？若存在，求出E、F的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设P（x，y），C（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀），由A、C、P三点共线得直线方程，由D、B、P三点共线得直线方程，将两式相乘得

y2

x2-1

=

- y 2 0

x 2 0 -1

 而 x₀²+y₀²=1，从而y₀²=1-x₀² 即点P在双曲线x²-y²=1上，根据双曲线定义知，存在两个定点E（-

2

，0），F（

2

，0）满足条件．

解答：解：由已知得A（-1，0）、B（1，0），
设P（x，y），C（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀），
由A、C、P三点共线得

y

x+1

=

y0

x0+1

                 ①…（2分）
由D、B、P三点共线得

y

x-1

=

-y0

x0-1

                ②…（4分）
①×②得

y2

x2-1

=

- y 2 0

x 2 0 -1

                           ③
又 x₀²+y₀²=1，∴y₀²=1-x₀²   代入③得  x²-y²=1，
即点P在双曲线x²-y²=1上，…（10分）
故由双曲线定义知，存在两个定点E（-

2

，0）、
F（

2

，0）（即此双曲线的焦点），使||PE|-|PF||=2
（即此双曲线的实轴长） 为定值．　…（13分）

点评：本题主要考查了三点共线，以及双曲线的性质，同时考查了分析问题的能力和运算能力，属于中档题．