Question

【题目】双曲线的左右焦点分别为,左右项点分别为,点是上的动点.

(1)若点在第一象限， 且,求点的坐标;

(2)点与不重合，直线分别交轴于两点，求证: ;

(3)若点在左支上，是否存在实数,使得到直线的距离与之比为定值?若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)见解析；(3)

【解析】

(1)根据与可算得再设点列式求得的坐标即可.

(2)设再利用三点共线斜率相等求得的坐标,再表达证明即可.

(3) 设再表达出到直线的距离与之比,化简求得对应的表达式再分析的取值即可.

(1)双曲线中,故,算得,

设则将,带入

即,,因为在第一象限,所以故

代入可得,故

(2) 由,设,,则由题意

,

故,,所以,又因为,

所以,,

代入得,因为,所以

,即

(3) 设,因为所以

所以

为定值,则

故存在使得到直线的距离与之比为定值.