Question

给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=

x-1

ax-1

（x∈R，且x≠

1

a

）．
证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
于x轴；
（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

Answer 1

分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；
（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．

解答：解：（1）设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x₁≠x₂，且y2-y1=

x2-1

ax2-1

-

x1-1

ax1-1

=

ax1x2-x2-ax1+1-(ax1x2-x1-ax1+1)

(ax2-1)(ax1-1)

=

a(x2-x1)-(x2-x1)

(ax2-1)(ax1-1)

=

(x2-x1)(a-1)

(ax2-1)(ax1-1)

，
∵a≠1，且x₁≠x₂，∴y₂-y₁≠0．
从而直线M₁M₂的斜率k=

y2-y1

x2-x1

≠0，因此，直线M₁M₂不平行于x轴．
（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠

1

a

，且y'=

x′-1

ax′-1

（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'-1）=x'-1，即x'（ay'-1）=y'-1，（2）假如ay′-1=0，则y′=

1

a

，代入(1)得

1

a

=

x′-1

ax′-1

，即ax'-a=ax'-1，由此得a=1，与已知矛盾，∴ay′-1≠0．于是由(2)式得x′=

y′-1

ay′-1

.
这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，
因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．