Question

用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），当容器的容积最大时，该容器的高为

1. A.
   8cm
2. B.
   9cm
3. C.
   10cm
4. D.
   12cm

Answer 1

C
分析：设容器的高为xcm，得容器的容积为V（x）与x之间的关系，为三次函数，求导，利用函数的单调性求出函数的最值．
解答：解：设容器的高为xcm，容器的容积为V（x）cm³，则
V（x）=（90-2x）（48-2x）x=4x³-276x²+4320x（0＜x＜24），
∵V′（x）=12x²-552x+4320，
由12x²-552x+4320=0得x=10或x=36（舍），
∵当0＜x＜10时，V′（x）＞0，当10＜x＜24时，V′（x）＜0，
∴当x=10时，V（x）在区间（0，24）内有唯一极大值，
∴容器高x=10cm时，容器容积V（x）最大．
故选C．
点评：本题考查导数在最大值问题中的应用，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0，则a是极大值点．