Question

（08年北师大附中月考） 用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？

 

Answer 1

解析：设容器高为x cm，容器的容积为V (x )cm³，则

                V (x ) = x (90－2x)(48－2x)

                           = 4x³－276x² + 4320x.（0＜x＜24.

求V (x )的导数，得：

                 (x) = 12x²－552x + 4320

                          = 12 (x²－46x + 360)

                          = 12 (x－10)(x－36).

令(x) = 0，得x₁ = 10，x₂ = 36（舍去），

当0＜x＜10时，(x)＞0，那么V (x )为增函数；

当10＜x＜24时，(x)＜0，那么V (x)为减函数，

因此，在定义域(0，24)内，函数V (x)只有当x = 10时取得最大值，其最大值为

                 V (10) = 10×(90－20)×(48－20) = 19600（cm³），

答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm³.