Question

18．已知O是锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10．若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且2x+10y=5，则cos∠BAC=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，过O点分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．利用垂经定理可得：AD=DB，AE=EC．于是$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=18.$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=50．由于$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，分别作数量积可得：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$，与2x+10y=5，联立解得即可．

解答 解：如图所示，
过O点分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
则AD=DB，AE=EC．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}×{6}^{2}$=18．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}×1{0}^{2}$=50．
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
化为18=36x+60ycosA，50=60xcosA+100y，
又2x+10y=5，联立解得cosA=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{9}{20}$．
故选：D．

点评 本题考查了垂经定理、数量积运算性质、方程的思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．