Question

3．已知数列{a_n}，并且a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-5xn+8，n≤5且n{∈N}^{*}}\\{（x-23{）log}_{2}（n-4），n＞5且n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，若{a_n}是递减数列，则实数x的取值范围是[2，23）．

Answer 1

分析 当n≤5，且n∈N^*时，${a}_{n}={n}^{2}-5xn+8$，由{a_n}是递减数列，得$\frac{5x}{2}≥5$；当n＞5且n∈N^*时，a_n=（x-23）log₂（n-4），由{a_n}是递减数列，得x-23＜0．由此能求出实数x的取值范围．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-5xn+8，n≤5且n{∈N}^{*}}\\{（x-23{）log}_{2}（n-4），n＞5且n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
∴当n≤5，且n∈N^*时，${a}_{n}={n}^{2}-5xn+8$，
∵{a_n}是递减数列，∴$\frac{5x}{2}≥5$，解得x≥2．
当n＞5且n∈N^*时，a_n=（x-23）log₂（n-4），
∵{a_n}是递减数列，∴x-23＜0，解得x＜23，
∴实数x的取值范围是[2，23）．
故答案为：[2，23）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的二次函数的单调性和数列性质的合理运用．