题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
c
=(-sin
x
2
，cos
x
2
)，且x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（1）求|
a
+
b
|；
（2）求函数f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|的单调增区间．
分析：（1）根据
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，可得|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2，利用x∈[-
π
2
，
π
2
]，即可求得|
a
+
b
|；
（2）函数f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|=2sinx+2cosx=2
2
sin（x+
π
4
），x∈[-
π
2
，
π
2
]，令μ=x+
π
4
，则可得μ的范围，y=sinμ在[-
π
4
，
π
2
]上为增函数，由此可得函数f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|单调增区间．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)
∴|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=2+2cos2x=4cos2x
∵x∈[-
π
2
，
π
2
]
∴cosx＞0
∴|
a
+
b
|=2cosx；
（2）
a
•
c
=sin（
3
2
x-
x
2
）=sinx
∴f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|=2sinx+2cosx=2
2
sin（x+
π
4
）
其中x∈[-
π
2
，
π
2
]，令μ=x+
π
4
，则μ∈[-
π
4
，
3π
4
]，y=sinμ在[-
π
4
，
π
2
]上为增函数
由μ∈[-
π
4
，
π
2
]可得x∈[-
π
2
，
π
4
]，故sin（x+
π
4
）的增区间为[-
π
2
，
π
4
]
即函数f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|单调增区间为[-
π
2
，
π
4
]
点评：本题考查向量知识的综合运用，考查向量的模，考查三角函数的单调性，解题的关键是利用三角函数知识求解．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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