题目内容
三棱锥A-BCD中, E是BC的中点,AB=AD,BD⊥DC
（I）求证：AE⊥BD；
（II）若
，且二面角A-BD-C为
,求AD与面BCD所成角的正弦值。
（I）求证：AE⊥BD；
（II）若
，且二面角A-BD-C为,求AD与面BCD所成角的正弦值。
解：（I）如图取BD的中点F，连EF,AF，
∵E为BC中点，F为BD中点，
∴FE∥DC.
又BD⊥DC,∴BD⊥FE.
∵AB=AD ∴BD⊥AF
又AF∩FE=F，AF,FE
面AFE
∴BD⊥面AFE AE
面AFE
∵AE⊥BD，∴BD⊥FE
（II）由（I）知BD⊥AF,
∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角
∴∠AFE=60° ∵AB=AD=
=2,
∴△ABD为等腰直角三角形，故
又
，
∴
即
∴AE2+FE2=1=AF2∴AE⊥FE
又由(1)知BD⊥AE且BD∩FE=F,BD
面BDC,FE
面BDC
∴AE⊥平面BDC
∴∠ADE就是AD与面BCD所成角 ，
在
中，
，∴
.
AD与面BDC所成角的正弦值为
∵E为BC中点，F为BD中点，
∴FE∥DC.
又BD⊥DC,∴BD⊥FE.
∵AB=AD ∴BD⊥AF
又AF∩FE=F，AF,FE
面AFE∴BD⊥面AFE AE
面AFE∵AE⊥BD，∴BD⊥FE
（II）由（I）知BD⊥AF,
∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角
∴∠AFE=60° ∵AB=AD=
=2,∴△ABD为等腰直角三角形，故
又
，∴
即
∴AE2+FE2=1=AF2∴AE⊥FE 又由(1)知BD⊥AE且BD∩FE=F,BD
面BDC,FE面BDC∴AE⊥平面BDC
∴∠ADE就是AD与面BCD所成角 ，
在
中，，∴. AD与面BDC所成角的正弦值为
练习册系列答案
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