Question

用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数．
求：
（1）可以组成多少个四位数？
（2）可以组成多少个不同的四位偶数？
（3）可以组成多少个能被5整除的四位数？

Answer 1

分析：（1）千位数字不能取0，有

A

1 5

=5种取法，百位，十位和个位从剩余的5个数中任取3个，有

A

3 5

=60种选法，由乘法原理能够得到可以组成多少个四位数．
（2）根据分类计数原理知，当末位是0时，千位、十位和百位从5个元素中选3个进行排列有A₅³种结果，当末位不是0时，末位只能从2和4中选一个，千位从4个非0元素中选一个，百位、十位从剩余4个中选2个，共有A₂¹A₄²A₄¹结果．根据分类计数原理知共有多少个不同的四位偶数．
（3）能被5整除的数的个位数字是0或5．根据分类计数原理知当末位是0时，千位、十位和百位从5个元素中选3个进行排列有A₅³种结果，当末位是0时，千位数字不能取零，有

A

1 4

种取法，十位和百位从4个元素中选2个进行排列有A₄²种结果，共有

A

1 4

•

A

2 4

结果，根据分类计数原理知共有多少个能被5整除的四位数．

解答：解：（1）千位数字不能取0，可以取1，2，3，4，5，有

A

1 5

=5种取法，百位，十位和个位从剩余的5个数中任取3个，有

A

3 5

=60种选法，由乘法原理得可以组成

A

1 5

•

A

3 5

=300个四位数．
（2）根据分类计数原理知，
当末位是0时，千位、十位和百位从5个元素中选3个进行排列有A₅³=60种结果，
当末位不是0时，末位只能从2和4中选一个，千位从4个非0元素中选一个，百位、十位从剩余4个中选2个，
共有A₂¹A₄²A₄¹=96种结果．
根据分类计数原理知共有60+96=156个不同的四位偶数．
（3）能被5整除的数的个位数字是0或5．
根据分类计数原理知
当末位是0时，千位、十位和百位从5个元素中选3个进行排列有A₅³=60种结果，
当末位是0时，千位数字不能取零，有

A

1 4

种取法，十位和百位从4个元素中选2个进行排列有A₄²=12种结果，
共有

A

1 4

•

A

2 4

=48个结果，
根据分类计数原理知共有60+48=108个能被5整除的四位数．

点评：本题考查分类计数原理和分步计数原理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类．