Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P₁，P₂分别是线段AB，BD₁（不包括端点）上的动点，且线段P₁P₂∥平面A₁ADD₁．
（1）证明：P₁P₂⊥A₁D；
（2）求四面体P₂P₁AB₁的体积最大值．

Answer 1

分析：（1）由P₁P₂∥平面ADD₁A₁⇒P₁P₂∥AD₁，再由A₁D⊥AD₁．得P₁P₂⊥A₁D．
（2）设正方体的棱长为1，AP₁=x，再过P₂做P₂O⊥BD与O点，连接OP₁，可证AD∥OP₁，OP₁=P₁B=1-x，将三棱锥的体积表示为x的函数，利用基本不等式求最大值．

解答：解：（1）连接AD₁，A₁D．AD₁为平面ABD₁与平面ADD₁A₁的交线
∵P₁P₂∥平面ADD₁A₁，∴P₁P₂∥AD₁
又∵平面ADD₁A₁为正方形，∴A₁D⊥AD₁．∴P₁P₂⊥A₁D．
（2）过P₂做P₂O⊥BD与O点，连接OP₁∵P₂O⊥BD，∴P₂O∥DD₁，P₁P₂∩P₂O=P₂
∴平面ADD₁A₁∥平面P₁OP₂，∵P₁O、AB为平面ABCD与两平行平面的交线，
∴AD∥OP₁，又AD⊥AB，∴OP₁⊥AB，OP₁⊥平面ABB₁，
设正方体的棱长为1，AP₁=x，则OP₁=P₁B=1-x，
∴VP2-P1AB1=

1

3

×

1

2

×AP₁×BB₁×OP₁=

1

6

x(1-x)≤

1

6

×(

x+1-x

2

)2=

1

24

，
当x=

1

2

时，最大值为

1

24

．

点评：本题主要考查线面平行的性质及应用，线面垂直的性质及应用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的空间想象能力，逻辑推理论证能力与运算能力．