题目内容

已知a，b，c∈R+，ab=1，a2+b2+c2=9，则a+b+c的最大值为
22
22
．
分析：利用条件，将a+b+c 转化为利用a进行表示，再进行换元，从而可利用柯西不等式求最值．
解答：解：由题意，∵a，b，c∈R+，ab=1，∴b=
1
a

因为a2+b2+c2=9，所以c=
9-a2-
1
a2

则a+b+c=a+
1
a
+
9-a2-
1
a2

设a+
1
a
=y，则a2+
1
a2
=y2-2
所以，a+b+c=y+
11-y2

根据柯西不等式得a+b+c≤
(12+12)(y2+11-y2)
=
22

故答案为
22
点评：本题以等式为载体，考查最值，关键是转换为用a进行表示，利用柯西不等式求最值．
练习册系列答案
相关题目
50、已知a，b，c∈R，证明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．
证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 
13
．
已知a，b，c∈R+且满足a+2b+3c=1，则
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值为
9
9
．
（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　　）

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