Question

设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，f(x)=x³.

（1）证明：f(x)是奇函数；

（2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.

Answer 1

（1）f(x)是奇函数（2）f(x)=

解析:

（1）证明  ∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴，

∴f（x+2）=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

（2）解  ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f［（x+2）+2］

=-f（x+2）=f（x），∴T=4.若x∈［3，5］，则(x-4)∈［-1，1］，

∴f（x-4）=(x-4.)³又∵f(x-4)=f(x),

∴f(x)=(x-4)³,x∈［3，5］.若x∈(5，7］，则(x-4)∈(1，3］，f(x-4)=f(x).

由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f［2-(x-4)］=f(x-4)

且2-(x-4)=(6-x)∈［-1，1］，故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)³=-(x-6)³.

综上可知f(x)=