Question

已知抛物线的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A（），B（）两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

（1）求A，B两点的横坐标之积；

（2）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

（3）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

Answer 1

解（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不为0，

则可设直线的方程为（），，，

由消去，得，显然.

所以，.即， 两点的横坐标之积为-4 ………………4分

（Ⅱ）由，得，所以，所以，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，又，

所以，直线的方程为  ①.

同理，直线的方程为  ②.

②-①并据得点M的横坐标，

即，，三点的横坐标成等差数列.   ……………………9分

（Ⅲ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）().

所以，则直线MF的方程为， 

设C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)

由消去，得，显然，

所以，.   

又

.

.……………12分

因为，所以 ，    

所以，，

当且仅当时，四边形的面积取到最小值.