Question

(本小题满分14分)

已知数列{a_n}中，a₁＝t(t∈R，且t≠0,1)，a₂＝t²，且当x＝t时，

函数f(x)＝(a_n－a_n－1)x²－(a_n＋1－a_n)x(n≥2，n∈N^?)取得极值.

(Ⅰ)求证：数列{a_n＋1－a_n}是等比数列；

(Ⅱ)若b_n＝a_nln|a_n|(n∈N^?)，求数列{b_n}的前n项和S_n；

(Ⅲ)当t＝－时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)由f′(t)＝0，得(a_n－a_n－1)t＝a_n＋1－a_n(n≥2)

又a₂－a₁＝t(t－1)，t≠0且t≠1，∴a₂－a₁≠0，

∴＝t.

∴数列{a_n＋1－a_n}是首项为t²－t，公比为t的等比数列.             (3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a_n＋1－a_n＝t^n＋1－tⁿ，

∴a_n－a_n－1＝tⁿ－t^n－1，

∴a_n－1－a_n－2＝t^n－1－t^n－2，

　…，…

a₂－a₁＝t²－t，

上面n－1个等式相加并整理得a_n＝tⁿ.(t≠0且t≠1)

b_n＝a_nln|a_n|＝tⁿ·ln|tⁿ|＝ntⁿ·ln|t|.

∴S_n＝(t＋2·t²＋3·t³＋…＋n·tⁿ)ln|t|，

tS_n＝[t²＋2·t³＋…＋(n－1)tⁿ＋n·t^n＋1]ln|t|，

两式相减，并整理得S_n＝ln|t|.                          (9分)

(Ⅲ)∵t＝－即－1<t<0，

∴当n为偶数时，b_n＝ntⁿln|t|<0；

当n为奇数时，b_n＝ntⁿln|t|>0，∴最大项必须为奇数项.

设最大项为b_2k＋1，则有

即

整理得

将t²＝代入上式，解得≤k≤.

∵k∈N，

∴k＝2，即数列{b_n}中的最大项是第5项.                             (14分)

 

【解析】略