Question

已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上且以2为周期的函数，当x∈[0，2]时，其解析式为f(x)＝|x－1|．

(Ⅰ)作出f(x)在(－∞，＋∞)上的图像；(注：请将图像画在模拟答题卡所给出的直角坐标系中．)

(Ⅱ)写出f(x)在[2k，2k＋2](k∈Z)上的解析式，并证明f(x)是偶函数．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查函数的图像与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力． 　　解：(Ⅰ)先画出x∈[0，2]时f(x)＝|x－1|的图像，然后将图像向左、右平移2|k|(k∈Z)个单位，就得到f(x)在(－∞，＋∞)上的图像，如下图所示． 　　(Ⅱ)设x∈[2k，2k＋2]，则x－2k∈[0，2]，　　∵f(x)是以2为周期的函数， 　　∴f(x)＝f(x－2k)＝|x－2k－1|． 　　即f(x)＝|x－2k－1|，x∈[2k，2k＋2](k∈Z)． 　　下面证明f(x)是偶函数． 　　设x∈[2k，2k＋2](k∈Z)，则－x∈[－2k－2，－2k]． 　　∴(－x＋2k＋2)∈[0，2]．　　由f(x)的周期性，可知 　　f(－x)＝f(－x＋2k＋2)＝|(－x＋2k＋2)－1|＝|x－2k－1|＝f(x)． 　　∴f(x)是偶函数