Question

已知定义在R上的函数f（x）=2tx³-3x²，其中t为常数．
（1）当t=时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数求极值，先求函数的导函数，令导函数等于0，解出x的值，为函数的极值点，再判断极值点左右两侧的导数的正负，左正右负为极大值，左负右正为极小值，然后把极值点代入原函数，求出函数值即可．
（2）利用导数求单调增区间，只需求导数，令导数大于0，解出x的范围即可．
解答：解：（1）当t=时，函数f（x）=-3x²，∴f′（x）=2x²-6x
令f′（x）=0，即2x²-6x=0，得，x=0，或3
∴当x=0，或3时，函数取得极值，且f（0）=0，f（3）=-9
又∵当x＜0时，f′（x）＞0，0＜x＜3时，f′（x）＜0，x＜3时，f′（x）＞0，
∴函数的极大值为0，极小值为-9
（2）由（1）知当x＜0时，f′（x）＞0，0＜x＜3时，f′（x）＜0，x＜3时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）
点评：本题主要考查了应用导数求函数的极值与单调区间，属于导数的应用．