Question

（2012•南宁模拟）已知函数f（x）=x⁴-x³+ax²-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）已知函数g(x)=3x3-(9-b)x2-1(b＜-

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2

)，求证：g（x）与函数f（x）的图象恰有1个交点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x⁴-x³+ax²-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增，可得函数在x=2处取得极值，即f′（2）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-4x³+（4-b）x²，证明x=0时，函数F（x）取得极小值，且F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）恒成立，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数可得f′（x）=4x³-3x²+2ax
∵函数f（x）=x⁴-x³+ax²-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增．
∴函数在x=2处取得极值
∴f′（2）=0，即32-12+4a=0，∴a=-5
（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-4x³+（4-b）x²，则F′（x）=4x³-12x²+2（4-b）x，
令F′（x）=0，即4x³-12x²+2（4-b）x=0，∴x=0或2x²-6x+（4-b）x=0
∵b＜-

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，
∴2x²-6x+（4-b）x=0的判别式△=4（1+2b）＜0，
∴当x∈（-∞，0）时，F′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；
∴x=0时，函数F（x）取得极小值，且F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）恒成立
∴F（x）=0只有一个实数解
∴g（x）与函数f（x）的图象恰有1个交点．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数图象的交点，属于中档题．