题目内容
某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品．开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到空气中．每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作．安全生产条例规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常进行生产．（Ⅰ）当r=20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由；
（Ⅱ）能否找到一个大于20的数据r，使该车间能连续正常生产6.5小时？请说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ） 首先计算6.5小时共释放出6次有害气体，车间内有害气体总量，根据有害气体总量不超过1.25am3 ，可建立不等关系，进而可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 设r%=0.2+x（x＞0）满足条件，即要有
≤1.25，利用二项展开式可解．
解答：解：（Ⅰ）∵第一次释放有害气体am3，
∴第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体（a+ar%）m3，第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体[a+（a+ar%）r%]m3，…（2分）
∵6.5小时共释放出6次有害气体，且有害气体的含量逐次递增，
∴要使该车间能连续正常生产，在最后一次释放有害气体后（净化之前），车间内有害气体总量不得超过1.25am3，
即必须要有a+ar%+a（r%）2+…+a（r%）5≤1.25a，
即
≤1.25a．…（4分）
∵当r=20时，
，
∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时．…（6分）
（Ⅱ）设r%=0.2+x（x＞0）满足条件，即要有
≤1.25，
即（0.2+x）6≥1.25•x．（*）…（8分）
∵（0.2+x）6=0.26+6（0.2）5x+…＞0.26+6（0.2）5x，
要使（*）成立，只要0.26+（0.2）5•16x-1.25x≥0即可，…（10分）
∴可取
，
∴取
，就可使该车间连续生产6.5小时．…（12分）
点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查等比数列模型，关键是理解题意，挖掘本质．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 设r%=0.2+x（x＞0）满足条件，即要有
≤1.25，利用二项展开式可解．解答：解：（Ⅰ）∵第一次释放有害气体am3，
∴第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体（a+ar%）m3，第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体[a+（a+ar%）r%]m3，…（2分）
∵6.5小时共释放出6次有害气体，且有害气体的含量逐次递增，
∴要使该车间能连续正常生产，在最后一次释放有害气体后（净化之前），车间内有害气体总量不得超过1.25am3，
即必须要有a+ar%+a（r%）2+…+a（r%）5≤1.25a，
即
≤1.25a．…（4分）∵当r=20时，
，∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时．…（6分）
（Ⅱ）设r%=0.2+x（x＞0）满足条件，即要有
≤1.25，即（0.2+x）6≥1.25•x．（*）…（8分）
∵（0.2+x）6=0.26+6（0.2）5x+…＞0.26+6（0.2）5x，
要使（*）成立，只要0.26+（0.2）5•16x-1.25x≥0即可，…（10分）
∴可取
，∴取
，就可使该车间连续生产6.5小时．…（12分）点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查等比数列模型，关键是理解题意，挖掘本质．
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