Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，椭圆和抛物线交于，两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过椭圆右焦点的直线和椭圆交于，两点，点在椭圆上，且，其中为坐标原点，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆及抛物线的对称性可知，轴，设，，，依题意为椭圆的通径，所以，再由，，解得，，，所以椭圆标准方程为；（2）设点，，，由已知，则有，解出，，代入椭圆方程，又两点在椭圆上，所以，，代入前面的式子得到，然后设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，消去未知数，得到关于的一元二次方程，表示出，代入中即得到关于的方程，解方程就可求出.

试题解析：（1）由知，可设，，，其中，

由已知，代入椭圆中得 ，即，解得，

从而，，，故椭圆方程为．

（2）设，，，由已知，

从而，，由于，，均在椭圆上，

故有，，，

第三个式子变形为，

将第一、二个式子代入得，（*）

分析知直线的斜率不为零，故可设直线方程为，与椭圆联立得：

，由韦达定理，，

将（*）变形为：，

即，

将韦达定理代入上式得：，解得，

因为直线的斜率，故直线的斜率为．