Question

已知动点P与双曲线的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-．

　　(1)求动点P的轨迹方程；

 

　　(2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且=l，求实数l的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：由题意c2=5． 　　设|PF1|+|PF2|=2a(a＞)，由余弦定理，得 　　cos∠F1PF2= 　　　　　　 = 　　又 　　当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|·|PF2|取最大值 　　此时cos∠F1PF2取最小值 　　令= 　　解得a2=9，∵　c=，∴　b2=4 　　故所求P的轨迹方程为 　　(2)设N(s，t)，M(x，y) 　　则由，可得(x，y-3)=l(s，t-3) 　　故， 　　∵　M、N在动点P的轨迹上， 　　∴　且， 　　消去s可得， 　　解得， 　　又|t|≤2，　∴　，解答≤l≤5， 　　故实数的取值范围是[，5]．

提示：

为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．新教材的高考已经进行了5年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性．