Question

在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（-h³+R²h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数，由此可得当h=R时，圆柱的体积的最大值是πR²．
解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得
h²+r²=R²，所以r=
∴这个圆柱的体积V=πr²h=π（-h³+R²h）
∵V'=π（-3h²+R²）=-3π（h+R）（h-R）
V'＞0，得h＜R； V'＜0，得h＞R
∴V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数
因此，当h=R时，圆柱的体积的最大值V_max=π[-（R）³+R²×R）=πR²
故选：A
点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．