Question

在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（　　）

• A．

  2 3

  9

  πR3
• B．

  4 3

  9

  πR3
• C．

  2 3

  3

  πR3
• D．

  4

  9

  πR3

Answer 1

分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（-h³+R²h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，

3

3

R）上是增函数，在（

3

3

R，R）上是减函数，由此可得当h=

3

3

R时，圆柱的体积的最大值是

2 3

9

πR²．

解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得
h²+r²=R²，所以r=

R2-h2

∴这个圆柱的体积V=πr²h=π（-h³+R²h）
∵V'=π（-3h²+R²）=-3π（h+

3

3

R）（h-

3

3

R）
V'＞0，得h＜

3

3

R； V'＜0，得h＞

3

3

R
∴V在（0，

3

3

R）上是增函数，在（

3

3

R，R）上是减函数
因此，当h=

3

3

R时，圆柱的体积的最大值V_max=π[-（

3

3

R）³+R²×

3

3

R）=

2 3

9

πR²
故选：A

点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．