Question

（2012•道里区三模）已知P为边长为2的正方形ABCD及其内部一动点，若△PAB，△PBC面积均不大于1，则

AP

•

BP

取值范围是（　　）

• A．[

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• B．（-1，2）
• C．(0，

  1

  2

  ]
• D．[-1，1]

Answer 1

分析：设点P（x，y），由已知条件可得x，y满足的可行域，利用数量积可得要求的问题，进而即可解决．

解答：解：如右图所示：设点P（x，y）．
∵△PAB，△PBC面积均不大于1，
∴

1

2

×2y≤1，

1

2

×2(2-x)≤1，0≤x≤2，0≤y≤2．
解得0≤y≤1，1≤x≤2．如左图所示的可行域：
由

AP

•

BP

=（x，y）•（x-2，y）=x（x-2）+y²=（x-1）²+y²-1．
∵d²=（x-1）²+y²表示的是可行域中的任意一点M与E（1，0）的距离的平方，
∴0≤d2≤(

2

)2，∴-1≤d²-1≤1，即-1≤

AP

•

BP

≤1．
故选D．

点评：利用面积和向量的数量积正确得出x，y的取值范围及要解决的问题和充分结合图形是解题的关键．