Question

【题目】已知椭圆过点，右顶点为点．

（1）若直线与椭圆相交于点两点（不是左、右顶点），且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）是椭圆的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 设（x1，y1），（x2，y2），联立方程组根据根与系数的关系，利用，得到，即可得出;

(2) 设点坐标分别为，设直线EF的方程为，联立方程得到，利用韦达定理表示，即可得到结果.

（1）设点坐标分别为，点坐标为，因为，则

，又，代入整理得

， （*）

由得，当时，方程两根为，则有

，代入（*）得，

所以或，

当时，直线方程为，恒过点，不符合题意，舍去；

当时，直线方程为，恒过点，该点在椭圆内，则恒成立，

所以，直线过定点.

（2）设点坐标分别为，直线、EF的斜率显然存在，

所以，设直线EF的方程为，同（1）

由得，（#）

当时，方程两根为，则有，①

因为直线的斜率与的斜率互为相反数，则

，又，代入整理得

， ②

①代入②，化简得，即

所以或，

当时，直线方程为，恒过点，不符合题意，舍去；

当时，方程（#）即，则时，，

所以当且时，恒成立，

所以，直线EF的斜率为定值.