Question

数列{a_n}是以a为着项，q为公比的等比数列，令b_n=1-a₁-a₂-a₃-…-a_n，C_n=2-b₁-b₂-b₃-…-b_n．n∈N*
（1）试用a，q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当q=1时，an=a，bn=1-na，cn=2+

n(na+a-2)

2

．
当q≠1时，an=aqn-1，bn=1-

a

1-q

+

aqn

1-q

，cn=2-(1-

a

1-q

)n-

a

1-q

•

q(1-qn)

1-q

=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n+

aqn+1

(1-q)2

（2）cn+1-cn=-bn+1=-1+

a

1-q

-

aqn+1

1-q

=-1+

a

1-q

(1-qn+1)，
因为1+q+q²+…+qⁿ=

1-qn+1

1-q

(q≠1)
由已知q＞0，
1+q+q2+…+qn＞0，即

1-qn+1

1-q

＞0
又a＜0，则

a

1-q

(1-qn+1)＜0
亦即-1+

a

1-q

(1-qn+1)＜0．
所以c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；
（3）∵cn=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n-

aqn+1

(1-q)2

，
若{cn}成等比数列，则令

2- aq (1-q)2 =0  ① q-1+a 1-q =0  ②

由②得a=1-q，代入①得2-

q

1-q

=0．
所以q=

2

3

，a=

1

3

，此时cn=

1

3

×

( 2 3 )n+1

(1- 2 3 )2

=

4

3

(

2

3

)n-1．
所以存在实数对（a，q）为(

1

3

，

2

3

)，使{cn}成为以

4

3

为首项，

2

3

为公比的等比数列．