题目内容

已知直线l与椭圆C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=
6
2
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x1=x2，y1=-y2，
∵P（x1，y1）在椭圆上，
∴
x12
3
+
y12
2
=1①
又∵S△OPQ=
6
2
，
∴|x1||y1|=
6
2
 ②
由①②得|x1|=
6
2
，|y1|=1．此时x12+x22=3，y12+y22=2；
2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入
x2
3
+
y2
2
=1得
（3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）＞0
即3k2+2＞m2，
又x1+x2=-
6km
3k2+2
，x1•x2=
3(m2-2)
3k2+2
，
∴|PQ|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
2
6
3k2+2-m2
3k2+2
，
∵点O到直线l的距离为d=
|m|
1+k2
，
∴S△OPQ=
1
2
1+k2
2
6
3k2+2-m2
3k2+2
•
|m|
1+k2
=
6
3k2+2-m2
|m|
3k2+2
，
又S△OPQ=
6
2
，
整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-
6km
3k2+2
）2-2
3(m2-2)
3k2+2
=3，
y12+y22=
2
3
（3-x12）+
2
3
（3-x22）=4-
2
3
（x12+x22）=2；
综上所述x12+x22=3，y12+y22=2．结论成立．

（Ⅱ）1°当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
|OM|=|x1|=
6
2
，|PQ|=2|y1|=2，
因此|OM|•|PQ|=
6
．
2°当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知
x1+x2
2
=-
3k
2m
，
y1+y2
2
=k
x1+x2
2
+m=
-3k2+2m2
2m
=
1
m

|OM|2=（
x1+x2
2
）2+（
y1+y2
2
）2=
9k2
4m2
+
1
m2
=
6m2-2
4m2
=
1
2
(3-
1
m2
)，
|PQ|2=（1+k2）
24(3k2+2-m2)
(2+3k2)2
=
2(2m2-1)
m2
=2（2+
1
m2
），
所以|OM|2|PQ|2=
1
2
(3-
1
m2
)×2×(2+
1
m2
)=（3-
1
m2
）（2+
1
m2
）

≤(
3-
1
m2
+2+
1
m2
2
)2=
25
4
．
|OM|•|PQ|≤
5
2
．当且仅当3-
1
m2
=2+
1
m2
，
即m=±
2
时，等号成立．
综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为
5
2
；

（Ⅲ）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
，
证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2

由（Ⅰ）得
u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
解得u2=x12=x22=
3
2
；v2=y12=y22=1．
因此u，x1，x2只能从±
6
2
中选取，
v，y1，y2只能从±1中选取，
因此点D，E，G，只能在（±
6
2
，±1）这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
矛盾．
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．
练习册系列答案
相关题目
如图，A、B分别是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下两顶点，P是双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰是PB的中点．
（1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值；
（2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点．
已知直线x-y+1=0经过椭圆S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．
如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且
OA
•
OB
=0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
已知圆C过定点F（-
1
4
，0），且与直线x=
1
4
相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（I）求曲线E的方程；
（II）当△OAB的面积等于
10
时，求k的值；
已知抛物线x2=4
3
y的准线过双曲线
x2
m2
-y2=-1的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点S(0，-
3
)，T(0，
3
)，求∠SPT的最小值；
（3）若点F(1，
3
2
)是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率e=
1
2
，一个短轴的端点（0，
3
）；抛物线C2：y2=4mx（m＞0），焦点为F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA2+OB2的值．

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