题目内容
已知抛物线C的方程为x2=4y．设动点E（a，-2 ），其中a∈R，过点E分别作抛物线C的两条切线EA，EB，切点为A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求证：A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）求直线AB经过的定点坐标．
【答案】分析：（1）通过导数求出过A，E的切线方程，利用韦达定理说明A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）求出AB的中点坐标，推出AB的方程，利用直线系求直线AB经过的定点坐标．
解答：解：（1）∵x2=4y．∴
∴
，
过点A的抛物线切线方程为：
=
x1（x-x1），因为切点过E点，
∴
x1（a-x1），整理得x12-2ax1-8=0，
同理可得x22-2ax2-8=0，
x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两个根，x1+x2=2a，x1•x2=-8．
A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）可得AB的中点为（a，
），
=
=
=
，
∴直线AB的方程为
，
即
∴AB过定点（1，2）．
点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查导数的应用，直线过定点的问题，考查计算能力．
（2）求出AB的中点坐标，推出AB的方程，利用直线系求直线AB经过的定点坐标．
解答：解：（1）∵x2=4y．∴
∴
，过点A的抛物线切线方程为：
=
x1（x-x1），因为切点过E点，∴
x1（a-x1），整理得x12-2ax1-8=0，同理可得x22-2ax2-8=0，
x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两个根，x1+x2=2a，x1•x2=-8．
A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）可得AB的中点为（a，
），
=
=
=
，∴直线AB的方程为
，即
∴AB过定点（1，2）．点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查导数的应用，直线过定点的问题，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
（2011•合肥三模）已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），过抛物线上点M（-2
已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），焦点F为 （0，1），点P（x1，y1）是抛物线上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A（s，t）．