Question

如图：⊙O方程为x²+y²=4，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，⊙O交y轴于点N，

DP

∥

ON

．且

DM

=

3

2

DP

．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设F₁（0，

5

）、F₂（0，-

5

），若过F₁的直线交（I）中曲线C于A、B两点，求

F2A

•

F2B

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用

DM

=

3

2

DP

，确定P，M坐标之间的关系，利用⊙O方程为x²+y²=4，点P在圆上，即可求得点M的轨迹C的方程；
（II）①当直线AB的斜率不存在时，显然

F2A

•

F2B

=-4；②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可得到结论．

解答：解：（I）设P（x₀，y₀），M（x，y），
∵

DM

=

3

2

DP

，∴

y= 3 2 y0 x=x0

，∴

y0= 2 3 y x0=x

…（3分）
∵⊙O方程为x²+y²=4，点P在圆上，
∴x₀²+y₀²=4
∴

x2

4

+

y2

9

=1  
∴点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

9

=1     …（5分）
（II）①当直线AB的斜率不存在时，显然

F2A

•

F2B

=-4；   …（6分）
②当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y=kx+

5

与椭圆方程联立，消去y可得（9+4k²）x²+8

5

kx-16=0
不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8 5 k

9+4k2

，x₁x₂=

-16

9+4k2

∴

F2A

•

F2B

=（1+k²）x₁x₂+2

5

k（x₁+x₂）+20=（1+k²）×

-16

9+4k2

+2

5

k×

-8 5 k

9+4k2

+20=-4+

200

9+4k2

  …（10分）
∵9+4k²≥9，∴0＜

200

9+4k2

≤

200

9

∴-4＜-4+

200

9+4k2

≤

164

9

∴-4＜

F2A

•

F2B

-4≤

164

9

       …（11分）
综上所述，

F2A

•

F2B

的范围是[-4，

164

9

]   …（12分）

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．