Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， , 平面 , ， ．

（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为四边形 为等腰梯形， ， ，

所以 ．又 ，所以 ，

因此 ， ，又 ，且 ，

平面 ，所以 平面

（2）解：取 的中点 ，连接CG,FG，因为 ，所以 ．

又 平面 ， 平面 ，所以 ．

由于 ， 平面 ，所以 平面 ，

故 ．所以 为二面角 的平面角．

在等腰三角形 中，由于 ，因此 ，又 ，所以 ，故 ,

因此，二面角 的余弦值为

【解析】(1)由题意可得证A D ⊥ B D 、 A E ⊥ B D再由线面垂直的判定定理可得证B D ⊥ 平面 A E D。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面BDE和平面DBC的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间向量的数量积运算，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；等于的长度与在的方向上的投影的乘积即可以解答此题．