Question

已知数列{a_n}满足a1=2，10an+1-9an-1=0，bn=

9

10

(n+2)(an-1)．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）当n取何值时，b_n取最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件10a_n+1-9a_n-1=0进行恒等变形即可得到an+1-1=

9

10

(an-1)，由等比数列的定义即可判断出数列{a_n-1}是等比数列；
（2）根据题设及（1）的解答，先给出b_n的表达式，由于此数列是正数数列，故可用作商法得出b_n取最大值时的n．

解答：解：（1）因为10a_n+1-9a_n-1=0，即10a_n+1-1=9a_n
整理得10（a_n+1-1）=9（a_n-1），即an+1-1=

9

10

(an-1)
所以数列{a_n-1}是等比数列，其公比是

9

10

，首项是a₁-1=2-1=1
（2）由（1）得a_n-1=(

9

10

)n-1，即a_n=1+(

9

10

)n-1
所以bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n
令

bn+1

bn

=

9

10

×

n+3

n+2

≥1，解得n≤7；令

bn+1

bn

=

9

10

×

n+3

n+2

≤1，解得n≥7
故b₇=b₈为最大值

点评：本题考查数列的递推式及等比关系的确定等比数列的概念及数列的最大项的判断，综合性强，解题的关键是有较强的探究变形能力，解答时要变形严谨是正确作答的保证